1. 系统方程构造：写出给定的微分方程，确定系统的矩阵形式 ( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} )。

2. 特征值计算：计算矩阵 ( A ) 的特征值，解特征方程 ( \det(A - \lambda I) = 0 )，得到特征值 ( \lambda )。

3. 稳定性分析：

   • 实部分析：特征值的实部决定了稳定性，如果实部为正，节点排斥；实部为负，节点吸引；实部为零时，需考虑虚部。
   • 虚部分析：当特征值为复数时，虚部决定稳定性，若虚部为正，排斥；虚部为负，吸引。

4. 特殊情况处理：

   • 纯虚数特征值：特征值为纯虚数时，节点为中心，相位图为环形，不排斥也不吸引。
   • 特征值为：可能为中心，需进一步分析。

5. 相位图分析：根据特征值判断相位图的类型，吸引、排斥或环形。

6. 综合特征值分析,确定节点的稳定性。

示例分析：

考虑系统 ( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} )，( A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \ -1 & -1 \end{pmatrix} )。

1. 特征方程：解得特征值为 ( \lambda = -1 \pm i )。
2. 稳定性判断：实部为负，虚部为正，因此节点吸引。

通过计算特征值并分析其实部和虚部,可以确定节点的稳定性，适用于线性系统分析。